ExcelでDSPをしよう(基礎編)

DSPとはデジタル信号処理の事を言います(ここではプロセッサの事を示さないので注意)。
Excelはおなじみの表計算ソフトです。
本来パソコン上でDSPを行う場合、MATLABという行列計算ソフトを使うのですが、入手しやすいExcelを使います。
扱いやすい、連続計算が得意という点を利用し、どのような過程で計算が行われているかを見てみましょう。
ADCとオシロスコープの代わりにグラフを用いれば結果が手に取るように分かります。

	まず、パラメータを用意しましょう。入力に必要なのは・f：設定周波数 [Hz] ・A：振幅・fs：サンプリング周波数 [Hz] です。そして、時間領域で見るので・n：サンプル番号(0からスタート) ・t：時間 [s] ・Vo：出力 [V] 出力は本来無次元ですが、「電気信号をオシロスコープで見ている」という前提とし、単位を[V]とします。サンプル番号は今回はあまり意味がありません。個数を分かりやすくしただけです。それぞれのパラメータを適当な位置に配置しましょう。 t-Voの表は縦に伸ばす事にします。余談：もちろん、位相も入れる事が出来ます。別の機会で追加する事にします。余談2：サンプリング周波数は通常、[SPS](サンプル毎秒、Sample Per Sec)という単位で書かれます。ですが次元は[Hz]と同じです。本講座ではサンプリング”周波数”なので単位は[Hz]で書きます。
	時間を設定します。最初は0[s]ですので初期値、0を入力します。次のサンプリングが発生する時間はサンプリング周波数より t[n]=1/fs+t[n+1] と書けます。 fsは定数なので、絶対参照にすることをお忘れなく。サンプリングは等間隔(周期的)に行われるので、下へ連続データを生成します。サンプル個数は適当でいいです。100個もあれば十分すぎです。今作った「前の数値に数値を加算する」という機能を「アキュムレータ(累算器)」と言います。
	次は出力をします。ブロック図の通り、SIN()関数を使うだけです。ひねくれた人はCOS()関数でもいいですが・・・。 Excelでの角度の単位は[rad]で表されます。 Vo=A・sin(2πft) ですので、上の式をExcelの書式で入力するだけです。先ほど同様、連続データを作っておきます。
	最後に結果をグラフにします。生成したtとVoのデータを全て選択し、メニューから散布図→散布図(直線)を選びましょう。まだ入力が何もない状態なので、f、A、fsを入力しないとDIV/0エラーが出るだけです。試しに f=100 A=1 fs=1000 を入れてみましょう。
	余談：本来、ADC出力は階段状になるのですが、散布図にそんなオプションは無いので直線とします。棒グラフを使えば「階段状」というイメージがわくと思います。ですが軸の設定上、散布図がいいでしょう。階段状になる事によるノイズを「折り返しノイズ、エイリアシング」と言います。ビットマップ画像を知っている人ならピンと来るはずです。このノイズの除去方法は・・・また後にしましょう。特に、時間分解能(横方向)由来だと「折り返しノイズ」、振幅分解能(縦方向)由来だと「量子化ノイズ」と呼ばれます。
Zoom	正弦波が出ましたか？出ない場合は定数のパラメータを絶対参照にしていないと思います。グラフ横軸の範囲を調整して、波形が1周期映るようにします。この時点でけっこう歪んでいることに気づきます。
Zoom	ではfの数値を少しずつ上げていきしょう(fsを下げてもいいです)。周波数が変わりますが波形はどんどん歪み、ついに500[Hz]あたりで波形が出なくなります。これが「ナイキストのサンプリング定理」です。離散時間領域ではfs/2[Hz]の周波数までしか表現ができません。ですので、fsはfに比べてとても大きい値を取る必要があります。

	まず、パラメータを用意しましょう。入力に必要なのは・f：設定周波数 [Hz] ・A：振幅・fs：サンプリング周波数 [Hz] です。そして、時間領域で見るので・n：サンプル番号(0からスタート) ・t：時間 [s] ・Vo：出力 [V] 出力は本来無次元ですが、「電気信号をオシロスコープで見ている」という前提とし、単位を[V]とします。サンプル番号は今回はあまり意味がありません。個数を分かりやすくしただけです。それぞれのパラメータを適当な位置に配置しましょう。 t-Voの表は縦に伸ばす事にします。余談：もちろん、位相も入れる事が出来ます。別の機会で追加する事にします。余談2：サンプリング周波数は通常、[SPS](サンプル毎秒、Sample Per Sec)という単位で書かれます。ですが次元は[Hz]と同じです。本講座ではサンプリング”周波数”なので単位は[Hz]で書きます。
	時間を設定します。最初は0[s]ですので初期値、0を入力します。次のサンプリングが発生する時間はサンプリング周波数より t[n]=1/fs+t[n+1] と書けます。 fsは定数なので、絶対参照にすることをお忘れなく。サンプリングは等間隔(周期的)に行われるので、下へ連続データを生成します。サンプル個数は適当でいいです。100個もあれば十分すぎです。今作った「前の数値に数値を加算する」という機能を「アキュムレータ(累算器)」と言います。
	次は出力をします。ブロック図の通り、SIN()関数を使うだけです。ひねくれた人はCOS()関数でもいいですが・・・。 Excelでの角度の単位は[rad]で表されます。 Vo=A・sin(2πft) ですので、上の式をExcelの書式で入力するだけです。先ほど同様、連続データを作っておきます。
	最後に結果をグラフにします。生成したtとVoのデータを全て選択し、メニューから散布図→散布図(直線)を選びましょう。まだ入力が何もない状態なので、f、A、fsを入力しないとDIV/0エラーが出るだけです。試しに f=100 A=1 fs=1000 を入れてみましょう。
	余談：本来、ADC出力は階段状になるのですが、散布図にそんなオプションは無いので直線とします。棒グラフを使えば「階段状」というイメージがわくと思います。ですが軸の設定上、散布図がいいでしょう。階段状になる事によるノイズを「折り返しノイズ、エイリアシング」と言います。ビットマップ画像を知っている人ならピンと来るはずです。このノイズの除去方法は・・・また後にしましょう。特に、時間分解能(横方向)由来だと「折り返しノイズ」、振幅分解能(縦方向)由来だと「量子化ノイズ」と呼ばれます。
Zoom	正弦波が出ましたか？出ない場合は定数のパラメータを絶対参照にしていないと思います。グラフ横軸の範囲を調整して、波形が1周期映るようにします。この時点でけっこう歪んでいることに気づきます。
Zoom	ではfの数値を少しずつ上げていきしょう(fsを下げてもいいです)。周波数が変わりますが波形はどんどん歪み、ついに500[Hz]あたりで波形が出なくなります。これが「ナイキストのサンプリング定理」です。離散時間領域ではfs/2[Hz]の周波数までしか表現ができません。ですので、fsはfに比べてとても大きい値を取る必要があります。